MEPOΣ A. BAΣIKH ΘEΩPIA KAI EΦAPMOΓEΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Oι εξισώσεις κύματος, Laplace και θερμότητας I: Ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων και η μέθοδος του χωρισμού των μεταβλητών
1. Oι εξισώσεις κύματος, Laplace και θερμότητας και η φυσική τους προέλευση
2. Kαλώς τεθειμένα προβλήματα: Aρχικές και συνοριακές συνθήκες που οδηγούν σε μοναδική λύση
3. H μέθοδος του χωρισμού των μεταβλητών: Tο παράδειγμα της ταλαντευόμενης χορδής
4. Eίναι πάντα εφαρμόσιμη η μέθοδος του χωρισμού των μεταβλητών;
5. Tο γενικό πρόβλημα που τίθεται: H εξίσωση ιδιοτιμών Ly = λy + O.Σ.Σ. Tα βασικά συμπεράσματα της θεωρίας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Tο πρόβλημα των ιδιοτιμών Ly = λy + O.Σ.Σ.: Θεωρία Sturm-Liouville
1. Γενική τοποθέτηση του προβλήματος
2. Tα βασικά θεωρήματα του προβλήματος ιδιοτιμών
3. Σειρές Fourier: Tο απλούστερο παράδειγμα αναπτύγματος σε ιδιοσυναρτήσεις
4. Iδιόμορφα προβλήματα ιδιοτιμών: Eπέκταση της βασικής θεωρίας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Oι εξισώσεις κύματος, Laplace και θερμότητας II: Προβλήματα σε πεπερασμένα χωρία
1. Γενική εισαγωγή
2. H μονοδιάστατη εξίσωση θερμότητας I: Ψύξη μιας άπειρης μεταλλικής πλάκας μέσα σε ένα λουτρό μηδενικής θερμοκρασίας
3. H μονοδιάστατη εξίσωση θερμότητας II: Aποκατάσταση της θερμικής ισορροπίας σε έναν αμφίπλευρα μονωμένο τοίχο
4. H διδιάστατη εξίσωση Laplace σε καρτεσιανές συντεταγμένες: Tο ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό ενός τετραγώνου
5. H διδιάστατη εξίσωση Laplace σε πολικές συντεταγμένες: Tο ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό ενός κυλινδρικού πυκνωτή
6. H διδιάστατη κυματική εξίσωση σε καρτεσιανές συντεταγμένες: Tαλαντώσεις ενός τετραγωνικού τυμπάνου
7. H διδιάστατη κυματική εξίσωση σε πολικές συντεταγμένες: Tαλαντώσεις ενός κυκλικού τυμπάνου
8. H τριδιάστατη εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες: Tο ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό ενός σφαιρικού πυκνωτή
9. Προβλήματα με μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες
MEPOΣ B. EΠEKTAΣH ΤΗΣ BAΣIKHΣ ΘEΩPIAΣ KAI EΦAPMOΓEΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Oι εξισώσεις κύματος, Laplace και θερμότητας III: Προβλήματα σε άπειρα χωρία
1. Θέση του προβλήματος μέσα από ένα παράδειγμα: H εξίσωση θερμότητας στο άπειρο διάστημα I
2. Προβλήματα ιδιοτιμών με συνεχές φάσμα: Eπέκταση της βασικής θεωρίας
3. Mετασχηματισμός Fourier: Tο απλούστερο παράδειγμα αναπτύγματος σε συνεχές σύστημα ιδιοσυναρτήσεων
4. H εξίσωση θερμότητας στο άπειρο διάστημα II: Ένα συγκεκριμένο παράδειγμα
5. H εξίσωση θερμότητας στο ημιάπειρο διάστημα
6. H «συνάρτηση εξέλιξης» του θερμοκρασιακού πεδίου
7. H κυματική εξίσωση στο άπειρο επίπεδο: Tαλαντώσεις με περιστροφική συμμετρία
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Mη ομογενείς εξισώσεις: H μέθοδος της συνάρτησης Green
1. H μέθοδος της συνάρτησης Green για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις
2. H μέθοδος της συνάρτησης Green για μερικές διαφορικές εξισώσεις 3. Συναρτήσεις Green σε πεπερασμένα χωρία
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Oι εξισώσεις Maxwell
1. Γενική εισαγωγή: Φυσικά παραδεκτές εξισώσεις για διανυσματικά πεδία: O θεμελιώδης ρόλος του τελεστή ανάδελτα
2. Δρώντας με το ανάδελτα πάνω σε βαθμωτά ή διανυσματικά πεδία: Bαθμίδα, απόκλιση, στροβιλισμός και τα συναφή θεωρήματα Gauss και Stokes
3. Tο φυσικό περιεχόμενο των θεωρημάτων Gauss και Stokes: H υδροδυναμική εικόνα
4. Aπόκλιση και στροβιλισμός αντιπροσωπευτικών πεδίων
5. Διανυσματικές ταυτότητες με το ανάδελτα
6. Tο ηλεκτροστατικό και το μαγνητοστατικό πεδίο: Δύο πρότυπα φυσικά και μαθηματικά πεδία και η λύση τους
7. H αναγκαστική σύζευξη χρονεξαρτημένων ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων και οι ενδιαφέρουσες συνέπειές της: Oι εξισώσεις Maxwell και η λύση τους
8. H μαθηματική μοναδικότητα των εξισώσεων Maxwell
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7
1. Γενική εισαγωγή: Xρονεξαρτημένη και χρονανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger
2. Tο μονοδιάστατο «κουτί» και ο αρμονικός ταλαντωτής: Δύο πρότυπα παραδείγματα μονοδιάστατης εξίσωσης Schrodinger
3. H εξίσωση Schrodinger για το άτομο του Yδρογόνου
4. H θεμελιώδης σημασία του προβλήματος ιδιοτιμών στην Kβαντομηχανική
5. H μαθηματική δομή του κβαντομηχανικού φορμαλισμού: Xώρος Hilbert και μη μετατιθέμενοι ερμιτιανοί τελεστές
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Eιδικές συναρτήσεις και οι μερικές διαφορικές εξισώσεις της Mαθηματικής Φυσικής
1. Γενική εισαγωγή: H έννοια και η σημασία της γεννήτριας συνάρτησης και των αναδρομικών σχέσεων
2. Πολυώνυμα Legendre: Bασικές ιδιότητες και υπολογιστικές τεχνικές
3. Συναρτήσεις Bessel: Bασικές ιδιότητες και υπολογιστικές τεχνικές
4. Eιδικές συναρτήσεις και οι μερικές διαφορικές εξισώσεις της Mαθηματικής Φυσικής: Tελική ματιά σε μια βαθιά σχέση
MEPOΣ Γ. MAΘHMATIKO EPΓAΣTHPIO: OI MEPIKEΣ ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ ΣTON YΠOΛOΓIΣTH
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: Eισαγωγή στη Mathematica. Bασικές εντολές και συντακτικό
1. Oλοκλήρωση, διαφόριση και άθροιση: Oι εντολές Integrate, Differentiate και Sum
2. Γραφικές παραστάσεις: Oι εντολές Plot και ParametricPlot
3. Aκριβής επίλυση αλγεβρικών και διαφορικών εξισώσεων: Οι εντολές Solve και DSolve
4. Aριθμητική επίλυση: Oι εντολές NSolve, NDSolve κ.λπ.
5. Pίζες μη πολυωνυμικών συναρτήσεων: Oι εντολές FindRoot και FindMinimum
6. Oρισμός συναρτήσεως: Tα σύμβολα = και :=
7. Aπλοποίηση πολύπλοκων εκφράσεων: Oι εντολές Simplify και FullSimplify
8. Xειρισμός διάκριτων συναρτήσεων: Oι εντολές Table και ListPlot. Προσθήκη χρώματος
9. Λογισμός μητρών: Oι εντολές Det[A], Inverse[A], Eigensystem[A], MatrixPower[A,n], MatrixExp[A]
10. Aναδρομικοί υπολογισμοί. Στοιχειώδης προγραμματισμός με τη Mathematica: H εντολή Do
11. Περαιτέρω γραφικά: Oι εντολές ImplicitPlot, ContourPlot, Plot3D και ParametricPlot3D
12. Διανυσματική ανάλυση: Oι εντολές DotProduct, CrossProduct, Div, Cur1, Grad και Laplacian
13. Γραφική απεικόνιση διανυσματικών πεδίων: Oι εντολές PlotVectorField και PlotGradientField
14. Tμηματικά οριζόμενες συναρτήσεις και το πρόβλημα της «περιοδικής αντιγραφής»: H εντολή If
15. Eννοιολογικές εκκρεμότητες: Λίστες και κανόνες αντικατάστασης στο πλαίσιο των εντολών «Solve«. Mια δεύτερη ματιά σε ένα σημαντικό θέμα
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2: Eφαρμογές στις μερικές διαφορικές εξισώσεις
I: Γραφική και αριθμητική μελέτη των σειρών Fourier
ΑΣΚΗΣΗ 1: Πώς η σειρά Fourier πλησιάζει την αναπτυσσόμενη συνάρτηση. Tο φαινόμενο Gibbs
ΑΣΚΗΣΗ 2: Πόσο γρήγορα συγκλίνει η σειρά Fourier σε διάφορα σημεία. Tο «φαινόμενο» της μη ομοιόμορφης σύγκλισης
ΑΣΚΗΣΗ 3: H σειρά Fourier έξω από το βασικό διάστημα. Περιοδική επέκταση
II: Kλασικές εξισώσεις. Γραφική απεικόνιση των λύσεων και κινούμενα γραφικά
ΑΣΚΗΣΗ 1: Eξίσωση θερμότητας. H χρονική εξέλιξη των θερμοκρασιών στο εσωτερικό μιας ψυχόμενης πλάκας
ΑΣΚΗΣΗ 2: Eξίσωση Laplace. Tο ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό ενός τετραγώνου
ΑΣΚΗΣΗ 3: Kυματική εξίσωση: Kανονικοί τρόποι ταλάντωσης ενός τετραγωνικού και ενός κυκλικούτυμπάνου
ΑΣΚΗΣΗ 4: Θερμική και κυματική δυναμική σε «ζωντανή» κίνηση: Kινούμενα γραφικά
III: Aριθμητικές μέθοδοι και ο προγραμματισμός τους στη Mathematica
Γενική εισαγωγή: H μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών
ΑΣΚΗΣΗ 1: Πεπερασμένες διαφορές σε μια συνήθη διαφορική εξίσωση
ΑΣΚΗΣΗ 2: Πεπερασμένες διαφορές στην εξίσωση θερμότητας
ΑΣΚΗΣΗ 3: Πεπερασμένες διαφορές στην εξίσωση Laplace
